miércoles, 13 de febrero de 2013

VECTORES: PRODUCTO CRUZ


El producto cruz o producto vectorial de dos vectores es otro vector cuya dirección es perpendicular a los dos vectores y susentido sería igual al avance de un sacacorchos al girar de u a v. Su módulo es igual a:
módulo del producto vectorial
gráfiica producto vectorial
El producto cruz se puede expresar mediante un determinante:
producto vectorial

Ejemplos

Calcular el producto cruz de los vectores vector u = (1, 2, 3) y v = (−1, 1, 2).
producto vectorial
solución
Dados los vectores vector y vector, hallar el producto cruz de dichos vectores. Comprobar que el vector hallado esortogonal a vector u y v.
producto vectorial
ortogonal
ortogonal
El producto vectorial de producto vectorial es ortogonal a los vectores vector u y v.


VECTORES: PRODUCTO PUNTO


El producto punto o producto escalar de dos vectores es un número real que resulta al multiplicar el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman.
producto

Expresión analítica del producto punto

Expresión analítica del producto escalar

Ejemplo

Hallar el producto punto de dos vectores cuyas coordenadas en una base ortonormal son: (1, 1/2, 3) y (4, −4, 1).
(1, 1/2, 3) · (4, −4, 1) = 1 · 4 + (1/2) · (−4) + 3 · 1 = 4 −2 + 3 = 5


TIPOS DE VECTORES


Tipos de vectores

Vectores equipolentes

vectores

Dos vectores son equipolentes cuando tienen igual módulo, dirección y sentido.


Vectores libres

vectores

El conjunto de todos los vectores equipolentes entre sí se llama vector libre. Es decir los vectores libres tienen el mismo módulodirección sentido.

Vectores fijos

vector

Un vector fijo es un representante del vector libre. Es decir, los vectores fijos tienen el mismo módulodirecciónsentido y origen.

Vectores ligados

vector

Los vectores ligados son vectores equipolentes que actúan en la misma recta. Es decir, los vectores fijos tienen el mismo módulodirecciónsentido y se encuentran en la mismarecta.

Vectores opuestos

vector

Los vectores opuestos tienen el mismo módulodirección, y distinto sentido.

Vectores unitarios

vector

Los vectores untario tienen de módulo, la unidad.
Para obtener un vector unitario, de la misma dirección y sentido que el vector dado sedivide éste por su módulo.

Vectores concurrentes

vector

Los vectores concurrentes tienen el mismo origen.

Vector de posición

vectores

El vector vector que une el origen de coordenadas O con un punto P se llama vector de posición del punto P.

Vectores linealmente independientes

Vectores linealmente dependientes

Varios vectores libres del plano son linealmente independientes si existe una combinación lineal de ellos que sea igual al vector cero, sin que sean cero todos los coeficientes de la combinación lineal.
Vectores linealmente dependientes

Vectores linealmente independientes

Vectores linealmente dependientes

Varios vectores libres son linealmente independientes si ninguno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los otros.
Vectores linealmente dependientes
a1 = a2 = ··· = an = 0

Vectores ortogonales

Sistema de referencia ortogonal

Dos vectores son ortogonales o perpendiculares si su producto escalar es cero.
producto

Vectores ortonormales

vector

Dos vectores son ortonormales si:
1. Su producto escalar es cero.
2. Los dos vectores son unitarios.